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分享 潮汐的科普与计算(更新)
岳东晓 2016-7-28 10:20
我之前写过几篇潮汐的科普,并且计算了 潮汐高度随角度的变化 。但这个计算忽略了一项。因此,我重新计算一下。顺便再从概念上讲讲。 古代中国人就知道潮汐主要是由月球引起的。牛顿在发现其运动定律及万有引力之后,对月球和太阳引起的潮汐进行了计算,但据说有错误(由于牛顿的《自然哲学的数学原理》一书只用了简单的几何和代数,其计算非常繁琐,现在很难看清)。在电影《Interstellar》中,浅水出现非常高的潮汐,应该算是过度科普。那么潮汐是怎么引起的呢? 很多人以为月亮在头顶上时,它对地面引力最大,于是把水吸起来了,好像是吸尘器吸篮球上的水一样,但这是一个错误的图像。实际上,地球是一个自由物体,在引力中相当于自由落体,在上面是感觉不到外界(如太阳与月亮)引力的。这跟神舟飞船上的宇航员感觉不到地球引力是同样的道理。但感觉不到引力是一个近似。因为地球引力是不均匀的,宇航员身体不同部分受到的地球引力有细微的差别,如果宇航员头朝地球,头离地球近,头受到的地球引力比脚受到的引力略大,这个力的差别对宇航员来说好像有力在拉伸。这就是所谓潮汐力。由于人的长度远远小于地球轨道半径,这个力差非常微小,人感觉不到。如果人往黑洞里掉,开始也会毫无感觉,自由落体完全失重,但当靠近黑洞中心时,头脚受到引力差很大,或者说潮汐力很大,就会受不了了。 类似的,在月球引力下,地球获得相应的加速度。这个加速度的计算可以把地球看成质量集中于地心的一个点,可以通过月-地的万有引力除以地球质量计算。但是由于面对月球的一面受到的月球引力大些,月球在这一面导致的加速度应该比地心的加速度大,这就造成了涨潮现象。有了这个物理图像,剩下就容易了,我们需要做的是计算月球(或其他天体)在地心的引力与地心外引力的差。 如下图。地心在原点 O,天体质量为 m,x 轴是地心 O 到天体中心Q 的连线,现在我们计算离地心距离为 r某点A的潮汐力, 角度 AQO为 \theta , 角度 OAQ 为 \phi . 潮汐力 f为 (为看起来方便,输入公式也简单点,我把 G*m 挪到了左边) \frac{\vec{f}}{Gm} = \frac{\vec{D} -\vec{r}}{|\vec{D} -\vec{r}|^3} - \frac{1}{D^2} \hat{x} = \frac{1}{D^2 - 2Dr \cos\theta +r^2}(\cos\phi \hat{x} - \sin\phi\hat{y}) - \frac{1}{D^2} \hat{x} 因为 月地距离 D 远远大于 r,我们近似有 \sin\phi \approx \frac{r \sin\theta}{D}; \hspace{0.5cm} \cos\phi \approx 1 - \frac{r^2\sin^2\theta}{2D^2} 代入上面的公式,我们发现 1/D^2 项抵消了。保留到 1/D^3 项,我们有 \frac{\vec{f}(\vec{r})}{Gm} =\frac{r}{D^3} \left(2\cos\theta \hat{x} - \sin\theta\hat{y}\right) 之前我的计算忽略了上面第二项( y 方向)。潮汐力计算出来了,怎么计算潮汐高度呢? 如果水面达到平衡,那么水面各点的引力势相同,因此,我们以地心为原点,计算潮汐力的势 V , V(\vec{r}) = - \int_0^r \vec{f}\cdot d\vec{r} \frac{-V(\vec{r})}{Gm} =\frac{r^2}{D^3} \left( \cos^2\theta - \frac{1}{2}\sin^2\theta\right)= \frac{r^2}{4D^3} \left(3\cos 2\theta+1\right) 或者说 V(\vec{r}) = -Gm\frac{r^2}{4D^3} \left(3\cos 2\theta+1\right) 潮汐高度 H 等于 上述势的地表值除以 重力加速度, 利用 g = GM_e /R^2 (M_e 为地球质量)。 H_{tide}(\vec{R}) = - V(\vec{R})/g = \frac{m R^4}{4M_e D^3} (3\cos 2\theta+1) . 其中 {\displaystyle m} 是造成潮汐的天体质量, {\displaystyle M} 为地球质量, {\displaystyle R} 为地球半径, {\displaystyle D} 为地球到天体的距离, {\displaystyle \theta } 是该地点与地心的连线与地心--天体连线的夹角。由此公式计算出月球产生的最大潮汐高度为40厘米,太阳引发的潮汐高度为16厘米。 其随位置(角度)变化图示如下 上面的公式里有个精确的整数2。这意味着每天要涨两次潮。一次是正对月亮,明月当空,一次是当月亮在地球的背面。
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分享 论物理直觉与进化
热度 3 岳东晓 2015-7-2 02:55
人类从有文字记载以来到牛顿力学的发现有数千年历史,在这数千年的文明史中有无数的人从高处落下,掉下悬崖的、掉下屋顶的、从树上掉下的、掉入地洞的,很多人掉下后安然无恙,很多人下坠时间可能超过1秒钟,但似乎没有任何记载称,有人说我感到了身体轻了或者失重;在这数千年中,有无数人在进行奔跑,所谓奔跑有一个双脚离地腾空的阶段,也没有人记载说,我奔跑时感到了失重。 大猩猩不能说话,如果大猩猩能够语言表达,它们应该会承认,从一个树上跳到另外一颗树上的过程中,没有什么失重感。 学了初中物理之后,我们知道,无论是人往下掉, 还是往上跳 ,当人的重心悬在空中,没有支撑,人向下加速度 a 约等于 g (由于空气阻力a 略小于g),人等同于自由落体运动,处于失重状态。身体给脚的压力原来是人体质量m乘以 g ,这时这个压力减小到 m * (g-a)。然而几千年的人类实践完全没有察觉到这个压力的变化。从生理学的角度,这可能涉及到细胞的压力反应延迟。 这种缺乏失重感直到牛顿的出现才有所改观。随着科学知识的普及,连幼儿园的小朋友都开始知道在 jump house 里 或者蹦床上腾空时,寻找那种失重的感觉。 由此可见,人类的进化不仅是一种基因上、生理上的变化,更是包括知识的增加。这种知识又影响了我们对世界的感知。古人看到闪电雷鸣,以为是神灵发怒。现在的两岁小孩会知道那是电磁作用,眼睛似乎能看到空气被电流击穿。 物理直觉并不是动物感官直觉。 要理解牛顿力学并不是那么容易。很多初中物理没有真正学懂的,以后学物理也是继续死记硬背,而不会增加其理解层次。这种人看到下面图中的问题就往往回到了原始的状态,无法用物理直觉超越动物感觉。 上台阶时当人体处于下图姿势时,台阶上的一脚受力是多少呢? 完全停留在动物感觉的人会说,此时一脚着地,支撑力N为人体重量 W。 但是, 【 这个时候你不能再套用双脚着地的情况,而必须计算人重心的向下加速度,既然有向下的加速度,人就会怎么样?会感到有失重。 F = W - N = ma 推出 N = W - ma. 】 以上的 F = W - N = ma , 推出 N = W - ma = m (g -a ) 不过的牛顿第二定律的最简单应用。这里面唯一需要确定的因素是 人体重心加速度 a 的大小。 如果 a 是零,当然不存在失重,a 越接近 g,失重越多。但有点物理直觉就应该知道,因为人体重心悬空离脚着地点较远,这个向下加速度应该相当大。 具体计算表明 ,a 约等于 0.75 g . 因此, N = mg - m a = 0.25 W。 从上面的例子可以看出,科学的发展也将使人类的进化发生分化现象。一种人无法将知识与感官结合,而停留在原始状态;而另一种,则能够用知识提高感官的能力,而成为一种不断高等化的人类。
个人分类: 科普|7684 次阅读|5 个评论
分享 那年除夕,二踢脚的故事
热度 11 温和宝 2015-2-17 00:15
那年春节,北京还没有禁放烟花爆竹。 除夕在家看电视春晚,到十二点了,就起身到院子里放鞭炮。年轻嘛,总想找点刺激,小鞭炮不过瘾就放二踢脚,摆地上放还是不过瘾就用手拿着放。用手拿着放约有一寸粗的二踢脚,看起来有点危险其实是很安全的。轻轻地拿着,点火。。。砰的一声上去,等着。。。然后啪的一声在空中炸开。那炮从手中飞出的感觉真是美极了,非常过瘾!就这样放了一个又一个,砰。。。啪;砰。。。啪;砰。。。。突然意外发生了,这只炮只响了一响,第二响迟迟没有等到,该响的时候没响!?于是我很自然地抬头去看。。。。这一看不要紧,。。。一般二踢脚是第一响炸过之后自动点燃第二响的引信然后间隔两秒左右在空中最高点炸开的。可能这只炮是个次品,或是受潮或什么原因,这两秒钟的时间被延长了。可别小看这点延长时间,就这点时间内,炮升到最高点之后没炸,自由落体又回落到出发点--------炸了!最巧的是,爆炸的瞬间,正是我抬眼观察的那一刻!!!。。。。 为什么能正巧回到出发点呢,原因是我用手拿着炮放,靠二踢脚的重量自然与地面垂直,分毫不差。那天晚上又没风,垂直升上又原路返回。真精确啊!精确到就在我的眼前不到一尺左右的地方爆炸。“轰”的一声,我只觉得眼前一黑就啥也不知道了。。。。。时间不长,很快醒过来,只觉得满脸疼痛,眼睛。。。一片漆黑。。。啥也看不到了。。。。哇!我差点哭出来,我的眼睛就这样完了?我还没结婚呢。。。 老天爷就是这么照顾我,那天看电视,我是戴了眼镜的。其实平时我也不戴,那天也不知怎么就戴上了,然后十二点一到就出去放炮也没摘掉,结果炮仗爆炸的时候,眼镜被炸碎了(难怪当时什么也看不见了),脸被火药炸黑了,可眼睛却保住了,万幸啊! 从此以后再放炮的时候,听到二踢脚的第二响没炸我绝不抬头,赶紧跑!
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分享 卢布自由落体2天贬25% 危及中俄战略平衡
热度 1 天涯过客 2014-12-17 16:28
《卢布自由落体2天贬25% 危及中俄战略平衡》 文章来源: 搜狐财经 于 2014-12-16 19:59:31 俄罗斯卢布近日上演连续暴跌行情,震动全球。在俄罗斯卢布兑美元汇率15日暴跌13%后,俄罗斯央行16日凌晨放出“大招”,紧急宣布将基准利率由10.5%直接提升至17%。俄央行希望,这一自1998年俄罗斯债务违约以来最大幅度的加息举措能够阻止卢布崩盘。 然而,加息效果昙花一现后,美元兑卢布盘中一度突破80,截至16日收盘,美元兑卢布报72.197。卢布两个交易日累计贬值约25%。 花旗银行分析师表示,俄罗斯实施资本管制或许将成为卢布保卫战的下一步。 年内卢布跌幅已达五成 今年上半年,1美元兑卢布维持在33左右。随着俄罗斯与乌克兰局势紧张及国际油价下跌,卢布进入连续贬值行情。12月3日以来,卢布跌破50关口,直至12月15日首次跌破60,盘中一度触及65。 据统计,今年以来,俄罗斯卢布跌幅已达五成,成为全球跌幅最大的货币。鉴于油价下跌趋势难改,俄国际储备目前又处于5年低位,分析认为,从基本面来看,卢布的确难以扭转下跌势头。 为了遏制卢布贬值和通货膨胀风险,俄央行16日凌晨紧急加息650个基点,将基准利率由之前的10.5%上调至17%。加息无用后,俄罗斯央行16日又进行了3.1万亿卢布7天正回购操作。昨日晚间,俄罗斯央行再进行7.326亿美元7天期正回购操作。 昨日,俄罗斯股指RTS指数大跌19%,创1995年以来最大跌幅。与此同时,国际资本避险情绪增强,黄金期货价格强势上涨至每盎司1213美元 中国社科院国际金融研究中心副主任张明对新京报记者表示,俄罗斯央行加息并不能遏制卢布下跌势头。“历史经验表明,当一国货币面临贬值压力的时候,央行通过加息来捍卫本国货币时,效果是非常有限的。” 张明表示,因为加息是一把双刃剑,目前俄罗斯经济处于比较疲弱的态势,虽然短期内能提高本国货币的吸引力,但是,此时加息会进一步打压俄罗斯经济。 油价暴跌为贬值首因 “普京、卢布、油价都将在明年奔向63”。这是近期俄罗斯正在流行的一个冷笑话。不过,现在看来,这个笑话远远低估了卢布和油价跳崖式下跌的势头以及普京遭遇的难题。 张明分析称,卢布暴跌首先与国际原油价格的暴跌有关。俄罗斯经济结构比较单一,主要以油气出口为主,国际原油价格暴跌恶化了俄罗斯贸易条件,导致俄罗斯贸易顺差显著收窄;同时,今年美联储退出量化宽松,导致美元进一步升值。 数据显示,纽约商品交易所1月主力原油合约截至昨日21时,跌破54美元,报53.9元,跌幅3.58%。这是主力合约2009年5月以来最低收盘价位。今年纽约油价已经累计暴跌43%。 中宇资讯分析师孙晓飞表示,受全球石油供应过剩影响,OPEC无减产意愿,后期原油或将继续震荡下行。卓创资讯成品油分析师胡慧春也表示,目前仍然没有看到支撑国际原油价格止跌的因素。 此外,尽管美元升值以来,包括人民币在内的各国货币都在下跌,唯独卢布下跌势头最猛。原因在于俄罗斯与乌克兰的地缘政治冲突。北约国家通过各种措施打压俄罗斯经济,不排除通过金融市场进一步压低油价,进一步打压俄罗斯。 在中国人民大学经济学院副院长刘元春看来,卢布暴跌的重要原因还有国际市场对俄罗斯经济未来前景的担忧、对俄罗斯公司和俄罗斯国家外债表示担忧。 当地居民抢购生活物资 在莫斯科工作生活多年的鲁先生对新京报记者表示,近日来俄罗斯当地人和生活在俄罗斯的外国人都在疯狂扫货。 鲁先生说,目前肉类、鸡蛋、牛奶、蔬菜等生活物资价格都在上涨,近一周来涨幅约20%。趁现在物价上涨速度尚未赶上卢布暴跌的速度时,俄罗斯当地人赶快把 卢布花出去变成具有实用价值的商品,而对于商家来说,则尽快回笼资金。“俄罗斯人所在的企业目前还没有提及涨工资一事”。 据鲁先生介绍,对于卢布连续大跌,目前莫斯科街头尚未发生骚乱,因为用俄罗斯当地居民的说法,就是“习惯了”。 1998年以来,俄罗斯已经历多次卢布暴跌。 2008年8月,俄罗斯与格鲁吉亚爆发战争后,外资纷纷逃离。之后的全球金融风暴直接引发了卢布持续贬值,一直持续到2009年下半年。今年初,莫斯科对乌克兰的军事介入再次导致俄罗斯卢布暴跌。 “卢布贬值后,学费相对便宜了。不过,在莫斯科的生活仍是以卢布结算,物价上涨,每一天心都在滴血”。昨日,一位在俄罗斯留学的付女士对新京报记者说,微信朋友圈中抱怨卢布不给力或要求用美元结算工资或涨工资的呼声此起彼伏。 华商抱怨利润损失 俄罗斯卢布持续贬值,不仅给当地百姓带来大面积恐慌,对于在俄罗斯以美元作为结算货币的华商来说,也笼罩了一层阴影。 对来自北京的华商李先生来说,卢布的贬值使本身就“利薄”的生意雪上加霜。成本上升、货物积压、面临亏损,都让他苦不堪言。 据称,目前部分中小型商店已经关门歇业。尤其是经营进口商品的商店,汇率变化让国外供货商无法发货。 “不涨价没有利润甚至赔钱,可是,如果涨价的话,销售受阻”。昨日,李先生对新京报记者说。 据称在圣彼得堡经营渔具的赵先生告诉记者,卢布贬值趋势发展下去,不仅对华商,甚至对整个俄罗斯经济的影响可以说是“爆炸性危机”。 据介绍,商品一般以美金定价购入到俄罗斯的,其定价必然与美金息息相关,美元升值后,同样的商品,较年中时期的利润相比,在无形之中已经损失了40%。 昨日,中国人民大学经济学院副院长刘元春建议,华商应积极采取自保措施。对于贸易规模较大的华商,必须采取汇率风险对冲,如掉期交易是最为直接的一种方式。如果贸易规模较小,华商则可选择抱团经营。 新京报记者 金彧 分析1 俄罗斯是否会走向危机? 中国社科院国际金融研究中心副主任张明认为,卢布继续下跌将造成俄罗斯进口成本显著上升,对俄罗斯带来输入性通货膨胀压力。本来俄罗斯增长萎靡,通胀压力 加大时,会有滞胀的风险。同时,也将进一步加大俄罗斯外债负担,降低国际投资者对俄罗斯经济的信心,会导致外国在俄罗斯的资本进一步撤离。 “在此期间,将不可避免出现资金外逃、套利做空等,加速了俄罗斯卢布进一步下滑”。中国人民大学经济学院副院长刘元春说。 张明表示,对全球来说,更多是负面冲击。会导致全球投资者的风险偏好降低,风险规避指数加剧,也会导致其他新兴市场国家面临同样资本外流、本币贬值的考验。 那么,俄罗斯该如何正确面对本轮卢布暴跌呢? “伤口在,总会痛”。昨日,民生证券研究院执行院长管清友表示,仅凭加息与汇市干预治标不治本。来自占比俄罗斯对外贸易40%的欧盟的制裁,油价下跌引起的出口和经济衰退,超过外汇储备的外债规模,以及美联储加息推动美元走强的四把盐,可能让俄罗斯经济陷入长期泥潭。 管清友表示,据统计,俄罗斯今年内七次加息。年初至今,俄罗斯共计上调关键利率7次,从5.5%调到17%,并配合汇市干预,但年中以来油价暴跌再次引发恐慌性外逃,只要油价能稳住,继续贬值的空间就不大。 分析2 会对中国带来何种影响? 管清友认为,油价下跌有利于降低进口成本,推动微观企业盈利改善,但是,卢布贬值、美元升值将加快人民币实际有效汇率升值,而且油价下跌意味着全球经济需求疲弱,不利于中国的出口和经济复苏。 刘元春认为,目前中俄双边传统结算依然使用美元,从俄罗斯进口商品的价格将更低,可是不利于出口。目前,中俄两国之间出口大于进口。不过,由于俄罗斯与中国经济贸易体量并不是太大,影响并不剧烈。 “如果卢布持续大跌,并导致俄罗斯经济急剧下滑和崩溃,那么,对于中国与俄罗斯的战略平衡关系会被打破。这对于中国来说,战略上会有损失。这一方面的影响会大于短期实际损失”。刘元春说。 张明对新京报记者表示,卢布的暴跌不仅对俄罗斯是伤害,对于中国来说负面意义大于正面意义。从进口方面来说,从俄罗斯进口商品价格更低,不过,卢布暴跌还将引起全球投资者对于新兴市场国家信心降低,也会导致包括中国在内的新兴市场国家面临资本外流、本币贬值的考验。
个人分类: 留档珍珠湾|5027 次阅读|2 个评论
分享 自由落体的水滴......(ZT)
宜修 2014-10-16 07:13
刚才误入一个博士群里。有一个人提问:一滴水从很高很高的地方自由落体下来,砸到人会不会砸伤?或砸死? 群里一下就热闹起来,各种公式,各种假设,各种阻力,重力,加速度的讨论,足足讨论了近一个小时。 我实在忍不住问了一句:你们淋过雨吗? 群里,突然死一般的寂静...... 然后,哎!然后我就被踢了出来……
个人分类: 啼笑皆非|2 次阅读|0 个评论
分享 伽利略悖论
热度 11 稻草 2013-12-3 22:42
伽利略悖论 亚里士多德认为,力是产生运动的原因,所以重的物体的自由落体速度比轻的物体快。伽利略发现了亚里士多德理论的一个悖论,即假设将一个轻的物体与一个重的物体绑在一起,那么它的自由落体速度比其中重的那个物体快还是慢呢?由于两个物体绑到一块后比其中重的物体更重,按理应该下落得更快,但两个物体绑在一起,重的物体被轻的物体拖累,又应该变慢,这样就出现了两难局面。伽利略由此发现了加速度并提出了力是产生加速度的原因的观点。在经典理论中,这种对力的界定是完全够用的。但是从逻辑上说,却有一点点纰漏。因为按照伽利略的发现,我们只能得出“产生加速度的原因是力”这样的结论,而不应该倒过来说“力是产生加速度的原因”,因为力除了能使物体产生加速度,还有其他作用。我们知道,加速度的概念是对于机械运动而言的,但物理学讨论的运动远不止机械运动。 “力”的范畴应该如何发展呢?这要从物理学的两个本质范畴——物质和运动说起。在经典力学建立之前,我们对物质和运动的量都没有科学的认识。在万有引力理论出现之后,我们才弄清楚质量与重量的区别。但是对运动的量的科学认识却不是经典力学的逻辑结论。在牛顿理论中,衡量运动的量是动量。这得益于笛卡尔的运动量(即动量)守恒思想。但笛卡尔提出动量守恒思想后不久,莱布尼兹就对其提出了挑战。他引入的是“活力”(Visviva)概念。“活力”指的是物体的质量与它的速度的平方之积(相当于动能,其值为动能的两倍),是一个标量;而动量是一个矢量。莱布尼兹认为,“活力”才是“力”的真正量度。可惜的是,莱布尼兹的“力”的观念未能得到应有的重视。这与当时数学家达朗贝尔的调解有关,达朗贝尔指出,“笛—莱”之争的实质只是个术语问题,因为“动量”是力对时间的积分,而“活力”是力对空间线度的积分。这种调解在当时的物理学视野里是正确的,因为对于机械运动而言,动量与能量具有充分的一致性。与此相应的哲学观点就认为,物质就是存在,运动是存在的属性。 但是,在物理学上,我们现在对于“存在”已经有这样一些认识:1、有一种以质量形式表现的存在,还有一种以能量形式表现的存在; 2、质量是物质的量,能量是运动的量;3、质量和能量可以相互转换,所以这两种量是平行的。这几点认识使我们清楚地看到一个与上述哲学范畴并不一致的物理范畴体系。这就是,物质和运动是并行的两种物理存在,其中物质是以质量形式表现的存在,运动是以能量形式表现的存在。
个人分类: 科学技术|5288 次阅读|17 个评论

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