石头砸到汽车的问题(《石头砸到汽车的物理与数学》)在科学网引起了相当的争论,我之后又写了两篇博文,《石头砸到汽车与皮球撞墙的等价》, 《石头砸到车引发激辩》,目前达成了一定的共识,那就是我的计算正确。但我认为讨论中表现出了某些读者对基本的物理概念错误或者疑惑,值得进一步分析。
在讨论中,问题简化了, 假设绳子与地面水平,那么石头不会飞起,而是水平运动。题中假设车以速度 V 匀速运动,石头质量为m。
1)从汽车(匀速运动)参照系看,汽车不动,石头以后 -V 速度后退,被绳子扯住回弹,速度变成 V。因此, 从车上看,石头以速度 V 追了过来。这个情形,石头动能没有变化,因此绳子对石头做功为零;石头动量变化 2mV。
2)从地面看,汽车以速度 V 运动,石头开始静止,被绳子拉扯后,石头速度为 2V。这个角度看,石头动能变化 为 2mV^2,绳子对石头做功为 2mV^2;石头动量变化 2mV 。
有读者认为,这两者物理矛盾。一个情况下绳子没做功,一个做了功- 2mV^2。
我在讨论中解释了,两者完全等价,物理完全相同。动能、做功量都是相对的,而不是绝对量。在视角 2) ,计算绳子的做功必须考虑汽车在移动,考虑这个 1)与2) 完全等价。这叫伽利略不变性。证明如下。
先看1),以汽车为参照,绳子张力为 F(t) ,石头速度 v(t), 绳子开始拉直一瞬初始时间 为0,绳子拉伸回缩到原长度的时间为T。我们有
动量传递:[ix]I = \int_0^T F(t) dt = 2m V[/ix].
绳子做功: [ix]W = \int_{path} F \cdot ds = \int_0^T F(t) v(t) dt =0[/ix].
现在我们从地面参照系看,力F是不变的,时间也不变,唯一的变化是石头的速度变了:[ix]v^\prime(t) = v(t) + V [/ix],这个速度相加看似小学常识,却是伽利略变换。现在我们在地面系计算绳子做功
[ix]W^\prime = \int_{path} F \cdot ds = \int_0^T F(t) v^\prime(t) dt \\
= \int_0^T F \cdot (v+V) dt = \int_0^T F(t) v(t) dt + V \int_0^T F(t) dt = V \cdot 2mV = 2mV^2[/ix]
由此可见,两个参照系绳子做功的大小不同不过是参照系变换的结果。
上面证明的结果其实可以推广为外力做功的参照系变换,
参照系1:
动量传递:[ix]\Delta P = \int_0^T F(t) dt [/ix].
外力做功: [ix]W = \int_{path} F \cdot ds [/ix].
参照系变换:[ix]v^\prime(t) = v(t) + V [/ix],外力做功量:
[ix]W^\prime = \int_{path} F \cdot ds = \int_0^T F(t) v^\prime(t) dt \\ = \int_0^T F \cdot (v+V) dt = W + V \int_0^T F(t) dt = W + V \cdot \Delta P[/ix]
结论:一般情况下,从参照系变换下,外力做功量按下面公式变换 :
[ix]W^\prime = = W + V \cdot \Delta P[/ix]
其中 W为原参照系下外力做功,V为新参照系相对于原参照系的速度,[ix]\Delta P[/ix] 是原参照系下物体的动量变化(注意这个动量变化量是不变的)。文字描述:两个参照系的做功差为相对速度与动量传递的点乘。