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引力波探测的滤震
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前两天看了 LIGO 探测引力波的论文，并写了篇科普，其中令人最为震撼的是 LIGO 探测出来的长度变化竟然只有氢原子半径的一亿分之一。如此细微的变化，他们是怎么测出来的呢？谁在探测实验室说句话产生的振动都会引起超过这个变化。仪器里关键的是反射激光的镜子，这些镜子必须纹丝不动才行。根据介绍，LIGO 采用的方法是把镜子吊在绳子上，这样悬吊点振动但镜子会基本不动。他们是用了四级的这样悬吊装置。对此，我感到好奇，于是进行了一下粗略的计算。
如下图，镜子m 通过用长度为 L 的绳子吊在 M 上面；M在水平振动， 其坐标 [ix]X = A \cos(\omega t)[/ix]，在小角度的情况下，绳子张力 [ix]T=mg[/ix]， 镜子 m 的 x 坐标是[ix]x_m = X + L \theta[/ix],
F= ma， 因此
[ix]\frac{d^2{x_m}}{dt^2} = \frac{d^2X}{dt^2} + L \frac{d^2\theta}{dt^2} = -g \theta[/ix]
代入试解 [ix]\theta = B \cos(\omega t)[/ix]
[ix]- A \omega^2 -L B \omega^2 = -g B[/ix], 因此，
[ix]B= \frac{\omega^2}{g -L \omega^2}A[/ix], 因此，镜子 m 的坐标是
[ix]x_m = X + L \theta = A \cos(\omega t) + L \frac{\omega^2}{g -L \omega^2}A\cos(\omega t) = \frac{g}{g-L\omega^2} X [/ix]
[ix]x_m = \frac{1}{1-\frac{L}{g}\omega^2} X[/ix]
由此可见，如果悬吊点的振动角频率远大于单摆的角频率 [ix]\omega_0 = \sqrt{g/L}[/ix]，则镜子 m 的振幅 基本是 悬吊点振幅的 [ix](\frac{\omega_0}{\omega})^2[/ix]。
例如，如果悬吊点振动频率为 50赫兹，而单摆为 1 hz，那么振动将被减弱到 2500 分之一。
如果是多级，每一级的衰减可以乘起来；而且考虑到中间级的质量有限，那么这个衰减就更大了。
