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科普：好奇孩子的三个数乘法问题（2）
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《好奇孩子的三个数乘法问题（1）》中说到，哈密尔顿教会他两儿子进行两个数一组的乘法之后，两儿子提出了一个问题，三个数一组怎么算乘法。哈密尔顿为这个问题思考了多年，每天吃早饭他两儿子就会追问三个数一组怎么乘起来，他只能说，不知道。有一天他经过一座桥时突然想到，三数之间不存在乘法 ，要建立类似一对数之间的乘法，必须要有四个数。一时之间，他按捺不住激动的心情，在桥头的石头上刻下了下列式子：
[ix]i^2 = j^2 = k^2 = i jk = -1[/ix]
之后100多年，英国学界乃至西方学界人士到伦敦，往往要去那座桥上瞻仰一下上面的刻字。。。
从那天开始，哈密尔顿全身心投入了相关的研究，写了一本几百页的著作 ，但因为写的比较难懂，其意义很长时间不被人理解，也没有得到广泛的运用。这里，我来通俗的讲讲。
为此，我们先回到《转身的想象 (1)》，里面提到转180度相当于 -1，那么转90度，就是 -1 的平方根，也就是虚数 i 。这是两位空间的情形，只有一种转动。如果扩展到三维空间呢？我们发现转动有三种方向，可以绕三个不同的轴转。参见下图手臂绕肩膀的转动，一种是侧上、侧下，一种是前上、前下，一种是水平前后。
把转180度作为-1，那我们现在有三种不同的180度转动，也就有三种不同的90度转动，且让我们称之为 i, j, k 。我们有
[ix]i^2 = j^2 = k^2 = -1[/ix] 。
现在把手伸到正前方，向上转90度到头顶，这相当于 i ，然后向侧下转90度，这相当于j, 我们发现手臂的位置相当于顺时针水平转动了90度，也就是 k 。
因此, [ix]ij = k[/ix] 。
将左右两边从右方乘以k，我们有 [ix]ij k = k^2 [/ix]；，我们知道 [ix]k^2 =-1[/ix]， 因此 [ix]ijk =-1[/ix]。
类似的，从[ix]ijk =-1[/ix]，从左边乘上 i, 我们有 [ix]i^2jk =-i[/ix], [ix]jk =i[/ix]；继续 我们得出 [ix]ik = -j[/ix]。
另外， [ix]ij=k, ijj = kj, -i = kj, -i i = k j i, 1=kji, k = k^2 ji [/ix]。 我们得出 [ix]ji = -k[/ix]。
对比前面的[ix]ij = k[/ix],我们发现这个i，j,k 之间的乘法的顺序不能交换，交换顺序之后，符号相反。
如果手臂初始是向右侧水平伸出，先侧向下 (j) ，然后从前方向上90度（i) ，我们发现手臂是逆时针水平转了90度 ，验证了 [ix]ij = -ji = k[/ix]。
未完待续----
